thermodynamique statistique (MP) · Chapitre 1 · Exercice de TD

La centrifugeuse d'enrichissement : un poids de Boltzmann sans pesanteur

Facteur de Boltzmann et distribution des populations · E. Applications du poids de Boltzmann · niveau 3 (difficile)

Énoncé

L'uranium naturel contient $0, 72 %$ d'uranium 235, et les réacteurs à eau sous pression demandent environ $4 %$ . On l'enrichit sous forme d'hexafluorure d'uranium gazeux, $U F_{6}$ , de masses molaires $M_{5} = 349, 03 g mo l^{- 1}$ ( $^{235} U F_{6}$ ) et $M_{8} = 352, 04 g mo l^{- 1}$ ( $^{238} U F_{6}$ ). Le gaz, à basse pression (gaz parfait) et à $T = 300 K$ , remplit un cylindre de rayon $a$ qui tourne à la vitesse angulaire $ω$ autour de son axe ; la vitesse périphérique vaut $v = aω = 600 m s^{- 1}$ . À l'équilibre, le gaz est au repos dans le référentiel du cylindre. Dans ce référentiel, une molécule de masse $m$ située à la distance $r$ de l'axe a l'énergie potentielle (associée à la force d'inertie d'entraînement) $E_{p} (r) = - \frac{1}{2} m ω^{2} r^{2};$ on néglige la pesanteur, et la paroi joue le rôle de thermostat.

1) Exprimer la densité moléculaire $n (r)$ en fonction de $n (0)$ . Calculer le rapport $n (a) / n (0)$ pour $^{238} U F_{6}$ . Commenter.

2) Montrer que le rapport isotopique $R_{i} = n_{5} / n_{8}$ est plus grand sur l'axe qu'à la paroi, d'un facteur $α = exp (\frac{( M _{8} - M _{5} ) v ^{2}}{2 R T})$ . Calculer $α$ pour $v = 500$ , $600$ et $700 m s^{- 1}$ . De quoi le facteur de séparation dépend-il, et de quoi ne dépend-il pas ?

3) On assemble des étages idéaux en cascade : chacun multiplie le rapport $R_{i} = x / (1 - x)$ par $α$ ( $x$ : fraction d'uranium 235). Combien d'étages faut-il pour passer de $0, 72 %$ à $4 %$ ? Une usine de diffusion gazeuse, où le gaz traverse des barrières poreuses, sépare d'un facteur $α_{d} = M_{8} / M_{5}$ par étage (donné) : combien d'étages lui faut-il ?

4) Pourquoi la vitesse périphérique est-elle limitée, et pourquoi cherche-t-on pourtant à l'augmenter ?

Corrigé

La stratégie. Le poids de Boltzmann ne demande qu'une énergie potentielle : on l'applique à $E_{p} (r)$ , espèce par espèce, comme on l'a fait pour l'altitude dans l'atmosphère. Le rapport des deux poids ne dépend que de la différence des masses.

1) Le gaz plaqué à la paroi. Chaque molécule est en équilibre avec la paroi à la température $T$ : sa probabilité de se trouver dans un petit volume situé à la distance $r$ est proportionnelle à $e^{- E_{p} (r) / k_{B} T}$ , d'où $n (r) = n (0) exp (\frac{m ω ^{2} r ^{2}}{2 k _{B} T}), \frac{n ( a )}{n ( 0 )} = exp (\frac{M v ^{2}}{2 R T}) .$ L'exponentielle croît avec $r$ : l'énergie potentielle est plus basse loin de l'axe, et les molécules s'y accumulent, comme l'air près du sol. Pour $^{238} U F_{6}$ , $\frac{M v ^{2}}{2 R T} = \frac{0 , 35204 \times 60 0 ^{2}}{2 \times 8 , 314 \times 300} = 25, 4$ , et $n (a) / n (0) = e^{25, 4} = 1, 1 \times 1 0^{11}$ : le gaz est presque tout entier contre la paroi, et l'axe est quasiment vide. La « hauteur caractéristique » est remplacée par l'énergie $\frac{1}{2} M v^{2} = 63 kJ mo l^{- 1}$ , vingt-cinq fois $R T$ .

2) Le facteur de séparation. Chaque isotope a son poids de Boltzmann : $n_{5} (r) = n_{5} (0) e^{M_{5} ω^{2} r^{2} /2 R T}$ et $n_{8} (r) = n_{8} (0) e^{M_{8} ω^{2} r^{2} /2 R T}$ . Le rapport isotopique vaut donc $R_{i} (r) = R_{i} (0) exp (- \frac{( M _{8} - M _{5} ) ω ^{2} r ^{2}}{2 R T}), \frac{R _{i} ( 0 )}{R _{i} ( a )} = α = exp (\frac{( M _{8} - M _{5} ) v ^{2}}{2 R T}) .$ Avec $M_{8} - M_{5} = 3, 01 \times 1 0^{- 3} kg mo l^{- 1}$ : $α = e^{0, 151} = 1, 16$ à $500 m s^{- 1}$ , $α = e^{0, 217} = 1, 24$ à $600 m s^{- 1}$ , $α = e^{0, 296} = 1, 34$ à $700 m s^{- 1}$ . Le gaz pris près de l'axe est enrichi en uranium 235, celui de la paroi appauvri. Le facteur de séparation ne dépend que de la différence des masses molaires, et non de leur valeur : l'atome de fluor, qui alourdit les deux molécules de la même masse, ne gêne pas. Il dépend de $v^{2} / T$ : une rotation rapide et un gaz froid séparent mieux.

3) La cascade. Il faut multiplier le rapport $R_{i}$ de $\frac{0 , 0072}{0 , 9928} = 7, 25 \times 1 0^{- 3}$ à $\frac{0 , 04}{0 , 96} = 4, 17 \times 1 0^{- 2}$ , soit par $5, 75$ . Avec $N$ étages, $α^{N} = 5, 75$ : $N = \frac{ln 5 , 75}{ln α} = \frac{1 , 748}{0 , 217} = 8, 1 a ˋ 600 m s^{- 1} .$ Environ huit étages idéaux suffisent (huit étages donnent $3, 95 %$ ). Pour la diffusion gazeuse, $α_{d} = 352, 04/349, 03 = 1, 0043$ et $N_{d} = \frac{1 , 748}{0 , 00429} = 407$ étages. Le rapport, cinquante fois moins d'étages, et la consommation d'électricité bien moindre d'une centrifugeuse ont conduit la France à remplacer l'usine de diffusion Eurodif du Tricastin, arrêtée en 2012, par l'usine de centrifugation Georges-Besse II. Les cascades réelles comptent plus d'étages (un étage réel n'atteint pas le facteur d'équilibre) et des milliers de centrifugeuses en parallèle.

4) La vitesse limite. La paroi tournante subit des contraintes proportionnelles à $ρ_{rotor} v^{2}$ : au-delà de quelques centaines de mètres par seconde, elle se rompt, d'où les rotors en fibre de carbone, très résistants et légers. On cherche pourtant à augmenter $v$ , car le facteur de séparation croît exponentiellement avec $v^{2}$ : $ln α$ double quand $v$ est multipliée par $2$ , et le nombre d'étages est divisé par deux. C'est la marque d'un facteur de Boltzmann : un gain linéaire sur l'énergie se paie, ou se récolte, en exponentielle.

Ce que l'exercice installe. Le poids de Boltzmann vaut pour toute énergie potentielle, ici celle de la force d'inertie d'entraînement dans le référentiel du rotor : $n (r) \propto e^{m ω^{2} r^{2} /2 k_{B} T}$ . Pour deux espèces, le rapport des poids ne dépend que de la différence d'énergie, donc de la différence des masses ; et une séparation par facteur de Boltzmann croît exponentiellement avec l'énergie mise en jeu rapportée à $k_{B} T$ .

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