thermodynamique statistique (MP) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Lire une température dans un rapport de deux populations : la thermométrie Raman d'une puce de silicium

Facteur de Boltzmann et distribution des populations · B. Facteur de Boltzmann et probabilités d'occupation · niveau 2

Énoncé

On éclaire un cristal de silicium par un laser de longueur d'onde $532 nm$ , de nombre d'onde $ν ~_{L}$ . Une petite partie de la lumière diffusée a changé de nombre d'onde : la raie Stokes, en $ν ~_{L} - ν ~$ , vient des diffusions où le cristal passe de l'état fondamental $0$ à l'état $1$ de son mode de vibration optique, d'écart $h c ν ~$ avec $ν ~ = 520, 7 c m^{- 1}$ ; la raie anti-Stokes, en $ν ~_{L} + ν ~$ , vient des diffusions où il passe de l'état $1$ à l'état $0$ . On admet que le rapport des intensités des deux raies vaut $r = \frac{I _{aS}}{I _{S}} = K \frac{p _{1}}{p _{0}}, K = (\frac{ν ~ _{L} + ν ~}{ν ~ _{L} - ν ~})^{4},$ où $p_{0}$ et $p_{1}$ sont les probabilités des deux états, à l'équilibre avec le réseau cristallin à la température $T$ .

1) Calculer $ν ~_{L}$ , $K$ et $θ = h c ν ~ / k_{B}$ . Quel rapport $r$ attend-on à $300 K$ ?

2) On mesure $r = 0, 120$ sur le canal d'un transistor en fonctionnement. Exprimer $T$ en fonction de $r$ , puis la calculer. Le rapport est mesuré à $\pm 2 %$ près : en déduire l'incertitude sur $T$ .

3) Montrer que $\frac{δ T}{T} = \frac{1}{x} \frac{δ r}{r}$ , avec $x = θ / T$ . Pourquoi n'utilise-t-on ni une vibration à $3000 c m^{- 1}$ , ni un mode à $50 c m^{- 1}$ ?

4) Que devient $r$ quand $T \to \infty$ ? Le rapport mesuré peut-il dépasser $K$ à l'équilibre ?

Corrigé

La stratégie. Le rapport de deux états ne dépend que de leur écart et de $T$ : on l'inverse pour obtenir $T$ . La sensibilité de la mesure vient de la dérivée logarithmique, et elle dicte le choix de la raie.

1) Le rapport attendu. $ν ~_{L} = \frac{1}{532 \times 1 0 ^{- 7} cm} = 18797 c m^{- 1}$ , $K = (\frac{19 317 , 7}{18 276 , 3})^{4} = 1, 248$ , $θ = 520, 7 \times 1, 4388 = 749 K$ (écart $64, 6 meV$ ). Le rapport des deux états vaut $\frac{p _{1}}{p _{0}} = e^{- θ / T}$ , indépendant de toute normalisation. À $300 K$ , $x = 2, 50$ , $e^{- x} = 0, 0823$ et $r = 1, 248 \times 0, 0823 = 0, 103$ : la raie anti-Stokes est dix fois plus faible que la raie Stokes, mais bien mesurable.

2) La température du transistor. De $r = K e^{- θ / T}$ : $T = \frac{θ}{ln ( K / r )} = \frac{749}{ln ( 1 , 248/0 , 120 )} = \frac{749}{2 , 342} = 320 K .$ Le canal est $20 K$ plus chaud que l'ambiante. Avec $r = 0, 1224$ et $0, 1176$ ( $\pm 2 %$ ), la formule donne $322, 6$ et $317, 2 K$ : $T = 320 \pm 2, 7 K$ . La mesure est sans contact, sur une tache d'un micromètre.

3) La sensibilité et le choix du mode. $ln r = ln K - θ / T$ , donc $\frac{d r}{r} = \frac{θ}{T ^{2}} d T = x \frac{d T}{T}$ , soit $\frac{δ T}{T} = \frac{1}{x} \frac{δ r}{r}$ . À $320 K$ , $x = 2, 34$ : $δ T = 320 \times 0, 02/2, 34 = 2, 7 K$ , comme à la question 2). Plus $x$ est grand, plus le rapport est sensible à $T$ , mais plus la raie anti-Stokes est faible.

Une vibration à $3000 c m^{- 1}$ ( $θ = 4316 K$ , $x = 14, 4$ à $300 K$ ) donnerait $p_{1} / p_{0} = e^{- 14, 4} = 5, 6 \times 1 0^{- 7}$ : la raie anti-Stokes serait environ $1 0^{- 5}$ fois plus faible que celle du silicium, noyée dans le bruit. Très sensible en principe, illisible en pratique.
Un mode à $50 c m^{- 1}$ ( $x = 0, 24$ ) donne $p_{1} / p_{0} = 0, 79$ : la raie se mesure sans peine, mais l'incertitude sur $T$ est multipliée par $2, 50/0, 24 \approx 10$ , soit $\pm 25 K$ à $300 K$ pour $2 %$ sur $r$ .

Le bon mode a $x$ de l'ordre de quelques unités : le mode optique du silicium, avec $x \approx 2, 5$ , réalise le compromis. Retenir : pour mesurer $T$ par un rapport de populations, l'écart d'énergie doit être de l'ordre de quelques $k_{B} T$ .

4) Le cas limite. Quand $T \to \infty$ , $e^{- θ / T} \to 1$ et $r \to K = 1, 248$ : les deux états deviennent équiprobables et seule demeure la dissymétrie optique $K$ . À l'équilibre, $p_{1} / p_{0} = e^{- θ / T} < 1$ pour toute température positive : le rapport ne dépasse jamais $K$ . Un rapport mesuré supérieur à $K$ signalerait un état hors d'équilibre (vibrations excitées par le laser lui-même, par exemple), pour lequel la formule n'a plus de sens.

Ce que l'exercice installe. Inverser un rapport de Boltzmann donne un thermomètre ; la sensibilité logarithmique $δ T / T = (δ r / r) / x$ fixe la précision, et le choix de l'écart d'énergie est un compromis entre sensibilité ( $x$ grand) et signal ( $e^{- x}$ pas trop petit). Un rapport de deux états ne demande ni normalisation, ni connaissance des autres états.

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