Moment magnétique dans un champ : probabilités des deux états

Avec $E_{\pm }=\pm \mu B$, la somme de normalisation vaut

$$Z={\mathrm{e}}^{-\beta \mu B}+{\mathrm{e}}^{+\beta \mu B}=2\cosh (\beta \mu B).$$

L'état de plus basse énergie est $E_{-}=-\mu B$ (moment aligné sur le champ), de probabilité

$$p_{-}=\frac{{\mathrm{e}}^{+\beta \mu B}}{2\cosh (\beta \mu B)}=\frac{{\mathrm{e}}^{\mu B/k_{\mathrm{B}}T}}{2\cosh (\mu B/k_{\mathrm{B}}T)}.$$

À $B$ fixé, plus $T$ est basse, plus $p_{-}$ tend vers $1$ : le moment s'aligne. À $T$ élevée, $p_{-}\to \frac{1}{2}$ : l'agitation thermique désoriente le moment. Pour un électron ($\mu \simeq 9,27\times 10^{-24}\mathrm{J}/\mathrm{T}$) dans $B=1\mathrm{T}$ à $300\mathrm{K}$, $\mu B/k_{\mathrm{B}}T\simeq 2,2\times 10^{-3}$ et $p_{-}\simeq \frac{1}{2}(1+\mu B/k_{\mathrm{B}}T)\simeq 0,501$ : l'alignement est minime, ce qui explique la faiblesse du paramagnétisme à température ambiante (étudié avec les systèmes à deux niveaux).