Nivellement barométrique et poids de Boltzmann

On cherche $z_{1/2}$ tel que $P(z_{1/2})=P(0)/2$, soit ${\mathrm{e}}^{-z_{1/2}/H}=\frac{1}{2}$, d'où

$$z_{1/2}=H\ln 2=8,4\mathrm{km}\times 0,693\simeq 5,8\mathrm{km}.$$

À cette altitude, le poids de Boltzmann ${\mathrm{e}}^{-mg{z}_{1/2}/k_{\mathrm{B}}T}$ vaut $\frac{1}{2}$ : l'énergie potentielle $mg{z}_{1/2}$ vaut $k_{\mathrm{B}}T\ln 2\approx 0,69k_{\mathrm{B}}T$. Elle est de l'ordre de l'énergie thermique, ce qui interprète directement la division par deux de la densité. Le sommet du mont Blanc ($4,8\mathrm{km}$) est un peu en dessous : on y respire un air dont la pression vaut environ ${\mathrm{e}}^{-4,8/8,4}\approx 0,56$ fois celle du niveau de la mer.