Rapport de populations et température caractéristique

Le rapport de Boltzmann de deux états donne

$$\frac{N_1}{N_0}={\mathrm{e}}^{-\epsilon /k_{\mathrm{B}}T}=\frac{1}{3}⟹\frac{\epsilon }{k_{\mathrm{B}}T}=\ln 3⟹T=\frac{\epsilon }{k_{\mathrm{B}}\ln 3}.$$

Numériquement, $\epsilon =0,10\mathrm{eV}=1,60\times 10^{-20}\mathrm{J}$, donc

$$T=\frac{1,60\times 10^{-20}}{1,381\times 10^{-23}\times 1,099}\simeq 1060\mathrm{K}.$$

Il faut plus de $1000\mathrm{K}$ pour peupler notablement un état distant de seulement $0,1\mathrm{eV}$ ($\epsilon /k_{\mathrm{B}}=1160\mathrm{K}$) : les populations excitées restent faibles à température ordinaire. On vérifie l'équivalence : $p_1=\frac{1/3}{1+1/3}=0,25$.