thermodynamique statistique (MP) · Chapitre 2 · Application directe du cours

Écart-type et capacité thermique

Systèmes à spectre discret d'énergie · niveau 1 (application)

Énoncé

Vérifier numériquement la relation $σ_{E}^{2} = k_{B} T^{2} C$ pour un système à deux niveaux $\pm ε$ au point $x = ε / k_{B} T = 1$ , en calculant $σ_{E}^{2}$ à partir des populations.

Corrigé

En $x = 1$ : $p_{-} = 1/ (1 + e^{- 2}) = 0, 881$ et $p_{+} = 0, 119$ . Comme $⟨ E^{2} ⟩ = ε^{2}$ et $⟨ E ⟩ = - ε (p_{-} - p_{+}) = - 0, 762 ε$ , on a $σ_{E}^{2} = ε^{2} (1 - 0, 76 2^{2}) = 0, 420 ε^{2}$ (ou $4 ε^{2} p_{-} p_{+} = 0, 420 ε^{2}$ ). Par ailleurs $C = k_{B} x^{2} / cosh^{2} x = k_{B} / (1, 543)^{2} = 0, 420 k_{B}$ , et $k_{B} T^{2} C = 0, 420 k_{B}^{2} T^{2}$ . Or $ε = k_{B} T$ puisque $x = 1$ : $k_{B} T^{2} C = 0, 420 ε^{2} = σ_{E}^{2}$ . ✓

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