Fluctuations d'un système, de $N$ systèmes

a) ${\sigma }_E=\epsilon /\cosh x\to \epsilon$ quand $x=\epsilon /k_{\mathrm{B}}T\to 0$ : l'énergie vaut $\pm \epsilon$ au hasard, avec des probabilités égales ; elle s'écarte toujours de $\epsilon$ de sa moyenne. Un seul système fluctue sur toute l'étendue de son spectre.
b) Origine au milieu : $⟨E⟩=-\epsilon \tanh x\simeq -{\epsilon }^2/k_{\mathrm{B}}T\to 0$, donc ${\sigma }_E/|⟨E⟩|\simeq k_{\mathrm{B}}T/\epsilon \to \infty$. Origine au fondamental : ${⟨E⟩}^{\prime }=⟨E⟩+\epsilon \to \epsilon$ et ${\sigma }_E$ inchangé, donc ${\sigma }_E/{⟨E⟩}^{\prime }\to 1$. Le même état physique donne deux valeurs différentes : la « fluctuation relative » d'un système n'a pas de sens. On compare ${\sigma }_E$ à l'écart $2\epsilon$ : il en vaut la moitié.
c) Les variances s'ajoutent : ${\sigma }_N=\sqrt{N}{\sigma }_E\to \sqrt{N}\epsilon$, donc ${\sigma }_N/(N\epsilon )\to 1/\sqrt{N}=10^{-10}$. C'est seulement en assemblant un grand nombre de systèmes que l'énergie devient une grandeur quasi certaine : la thermodynamique n'émerge que pour $N$ grand.