L'imagerie par résonance magnétique : cinq protons sur un million, et la loi de Curie

La stratégie. Le système à deux niveaux est donné par l'énergie du dipôle : deux orientations, deux énergies opposées. La grandeur moyenne demandée n'est plus l'énergie mais le moment ; on la calcule par la même somme sur les deux états, puis on développe à haute température.

1) Le système. Les deux états ont les énergies $-\mu B$ ($m_z=+\mu$, moment parallèle au champ) et $+\mu B$ : c'est un système à deux niveaux $\pm \epsilon$ avec $\epsilon =\mu B$. Écart et fréquence : $$2\mu B=2\times 1,4106\times 10^{-26}\times 1,5=4,23\times 10^{-26}\mathrm{J},f=\frac{2\mu B}{h}=63,9\mathrm{MHz},$$ une onde radio : c'est la fréquence de travail d'un imageur de $1,5\mathrm{T}$. $\epsilon /k_B=1,53\times 10^{-3}\mathrm{K}$ et $x=\mu B/k_{B}T=4,94\times 10^{-6}$ : régime de très haute température.

2) Moment moyen. Avec $x=\mu B/k_{B}T$, $p_{\uparrow }=\frac{{\mathrm{e}}^x}{2\cosh x}$ (état $m_z=+\mu$, d'énergie $-\mu B$) et $p_{\downarrow }=\frac{{\mathrm{e}}^{-x}}{2\cosh x}$ : $$⟨m⟩=(+\mu )p_{\uparrow }+(-\mu )p_{\downarrow }=\mu \tanh \frac{\mu B}{k_{B}T},$$ $$⟨E⟩=\sum _i{p}_i(-m_{i}B)=-⟨m⟩B=-\mu B\tanh x.$$ On retrouve l'énergie moyenne du système à deux niveaux avec $\epsilon =\mu B$. La polarisation vaut $P=\tanh x\simeq x=4,9\times 10^{-6}$ : sur un million de protons, il y en a environ cinq de plus dans l'état parallèle au champ que dans l'état antiparallèle : l'excès est de cinq protons par million. Tout le signal de l'imagerie vient de cet excès.

3) Loi de Curie. Pour $x\ll 1$, $\tanh x\simeq x$ et $⟨m⟩\simeq {\mu }^{2}B/k_{B}T$, d'où $$M_a=n⟨m⟩\simeq \frac{n{\mu }^{2}B}{k_{B}T}\text{(loi de Curie : }{M}_a\propto B/T\text{)}.$$ $n=2\times \frac{\rho }{M}{N}_A=2\times \frac{1,00\times 10^3}{18,0\times 10^{-3}}\times 6,022\times 10^{23}=6,69\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ (deux protons par molécule), et $$M_a=\frac{6,69\times 10^{28}\times (1,4106\times 10^{-26}{)}^2\times 1,5}{1,381\times 10^{-23}\times 310}=4,7\times 10^{-3}\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1},$$ à comparer à l'aimantation à saturation $n\mu =944\mathrm{A}{\mathrm{m}}^{-1}$ : deux cent mille fois moins. La loi de Curie est linéaire en $B$ : à $3\mathrm{T}$ l'aimantation, donc le signal, double (c'est la raison des imageurs à champ élevé). Refroidir le patient de $310$ à $300\mathrm{K}$ ne gagnerait que $310/300-1=3\%$.

4) Polariser vraiment. $P=\tanh x=0,5$ pour $x=0,549$, soit $$T=\frac{\mu B}{0,549k_B}=\frac{2,116\times 10^{-26}}{0,549\times 1,381\times 10^{-23}}=2,8\times 10^{-3}\mathrm{K}:$$ il faudrait des millikelvins. Un électron a un moment ${\mu }_B/{\mu }_p=657$ fois plus grand ; en régime de Curie, sa polarisation est 657 fois plus grande ($3,2\times 10^{-3}$). C'est l'idée des techniques d'« hyperpolarisation », qui transfèrent la polarisation d'électrons ou d'atomes préparés hors d'équilibre vers des noyaux, pour gagner des facteurs de l'ordre de $10^4$ sur le signal.

5) Saturation. À basse température ($x\gg 1$), $\tanh x\to 1$ : $⟨m⟩\to \mu$, tous les moments sont alignés, l'aimantation sature à $n\mu$ et ne dépend plus ni de $B$ ni de $T$. Entre les deux régimes, la courbe se détache de la loi de Curie vers $k_{B}T\approx \mu B$.

À l'échelle de cette figure, le point de fonctionnement de l'imageur est à $k_{B}T/\mu B=2\times 10^5$, très loin à droite : en plein régime de Curie.

Ce que l'exercice installe. Un moment à deux orientations dans un champ est un système à deux niveaux d'écart $2\mu B$ (énergie $-\overrightarrow{m}\cdot \overrightarrow{B}$) ; la moyenne d'une autre grandeur que l'énergie se calcule par la même somme sur les états : $⟨m⟩=\mu \tanh (\mu B/k_{B}T)$. À haute température, loi de Curie linéaire en $B/T$ ; à basse température, saturation. Ordre de grandeur à retenir : en imagerie médicale, cinq protons par million font le signal.