Les verres à très basse température : une foule de systèmes à deux niveaux, une capacité linéaire en $T$

La stratégie. Chaque système à deux niveaux apporte sa capacité thermique de Schottky ; les systèmes étant indépendants, les capacités s'ajoutent, et une répartition continue d'écarts transforme la somme en intégrale. Le changement de variable $y=\Delta /2k_{B}T$ fait sortir toute la dépendance en $T$.

1) Un système. Avec $\epsilon =\Delta /2$, la capacité thermique d'un système à deux niveaux $\pm \epsilon$ est $k_B\frac{(\epsilon /k_{B}T{)}^2}{{\cosh }^2(\epsilon /k_{B}T)}$ (dériver $⟨E⟩=-\epsilon \tanh (\epsilon /k_{B}T)$), soit $$c_{\Delta }(T)=k_B\frac{y^2}{{\cosh }^{2}y},y=\frac{\Delta }{2k_{B}T}.$$ À $T$ fixée, cette fonction de $\Delta$ est nulle pour $\Delta \to 0$ (deux niveaux confondus, déjà équiprobables : la température n'y change rien) et pour $\Delta \gg k_{B}T$ (système gelé, en $y^2{\mathrm{e}}^{-2y}$) ; elle est maximale vers $\Delta \simeq 2,4k_{B}T$. Seuls les systèmes d'écart comparable à $k_{B}T$ contribuent.

2) Somme sur les systèmes. Par unité de volume, $P_0\mathrm{d}\Delta$ systèmes ont chacun la capacité $c_{\Delta }$ ; avec $\mathrm{d}\Delta =2k_{B}T\mathrm{d}y$ : $$C_v={\int }_0^{\infty }{P}_0{c}_{\Delta }(T)\mathrm{d}\Delta =P_0{k}_B(2k_{B}T){\int }_0^{\infty }\frac{y^2}{{\cosh }^{2}y}\mathrm{d}y=2P_0{k}_B^{2}T\frac{{\pi }^2}{12}=\frac{{\pi }^2}{6}{P}_0{k}_B^{2}T.$$ Une somme de bosses de Schottky, d'écarts répartis uniformément, donne une capacité linéaire en $T$ : quand $T$ double, le nombre de systèmes actifs (ceux dont $\Delta \lesssim k_{B}T$) double, et chacun apporte de l'ordre de $k_B$. Le résultat repose sur deux hypothèses : $P_0$ constant jusqu'à $\Delta \gg k_{B}T$ (au-delà, les systèmes sont gelés et peu importe), et des systèmes indépendants.

3) Densité de systèmes. La capacité par unité de volume est $\rho c_{1}T$, avec $\rho c_1=2,20\times 10^6\mathrm{g}{\mathrm{m}}^{-3}\times 1,2\times 10^{-6}=2,64\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}{\mathrm{K}}^{-2}$ : $$P_0=\frac{6\rho c_1}{{\pi }^2{k}_B^2}=\frac{6\times 2,64}{9,87\times (1,381\times 10^{-23}{)}^2}=8,4\times 10^{45}{\mathrm{J}}^{-1}{\mathrm{m}}^{-3}.$$ Les systèmes d'écart inférieur à $k_{B}T$ sont au nombre de $P_0{k}_{B}T$ par unité de volume : à $0,1\mathrm{K}$, $8,4\times 10^{45}\times 1,381\times 10^{-24}=1,2\times 10^{22}{\mathrm{m}}^{-3}$. Le nombre de motifs $\mathrm{Si}{\mathrm{O}}_2$ est $\frac{2,20\times 10^6}{60,1}\times 6,022\times 10^{23}=2,2\times 10^{28}{\mathrm{m}}^{-3}$ : un motif sur deux millions porte un système actif à $0,1\mathrm{K}$.

4) Comparaison au réseau. Le rapport des deux termes est $\frac{c_{1}T}{c_3{T}^3}=\frac{c_1}{c_3{T}^2}=\frac{1,5{\mathrm{K}}^2}{T^2}$ : $150$ à $0,1\mathrm{K}$, $6$ à $0,5\mathrm{K}$, $1,5$ à $1\mathrm{K}$. Les deux termes s'égalent vers $1,2\mathrm{K}$. À très basse température, les vibrations du réseau sont gelées (leur capacité chute en $T^3$), alors qu'il reste toujours des systèmes à deux niveaux d'écart assez petit pour être actifs : si rares soient-ils, ils dominent. Un cristal de quartz, sans désordre, n'en a pas, et sa capacité suit la loi en $T^3$ jusqu'aux plus basses températures.

Ce que l'exercice installe. Des systèmes à deux niveaux indépendants ajoutent leurs capacités thermiques ; avec une répartition uniforme des écarts, la somme (devenue intégrale) donne une capacité linéaire en $T$, parce que seuls comptent les systèmes d'écart $\Delta \lesssim k_{B}T$, dont le nombre est proportionnel à $T$. Lire une loi de puissance $C(T)$, c'est lire la répartition des écarts d'énergie du système.