Maximum de Schottky : température et hauteur — exercice corrigé de thermodynamique statistique (MP) (chapitre 2)

Maximum de Schottky : température et hauteur

Systèmes à spectre discret d'énergie · niveau 2

Énoncé

a) Un système à deux niveaux $\pm ε$ a un écart $2 ε = 1.0 \times 1 0^{- 21} J$ . Calculer la température $T_{m a x}$ du maximum de sa capacité thermique et la valeur $C_{m a x}$ de ce maximum. b) Une mole de systèmes à deux niveaux est décrite, dans un article, par les énergies $0$ et $Δ$ , avec $Δ/ k_{B} = 50 K$ . Où se trouve la bosse de sa capacité thermique molaire, et quelle est sa hauteur ?

Corrigé

a) Le maximum de $C = k_{B} x^{2} / cosh^{2} x$ est atteint pour $x tanh x = 1$ , soit $x_{m a x} ≃ 1, 20$ et $k_{B} T_{m a x} ≃ 0, 834 ε$ . Ici $ε / k_{B} = 0.5 \times 1 0^{- 21} /1.381 \times 1 0^{- 23} = 36.2 K$ , donc $T_{m a x} = 0, 834 \times 36, 2 ≃ 30 K$ . La valeur maximale est $C_{m a x} ≃ 0, 439 k_{B} ≃ 6.1 \times 1 0^{- 24} J . K^{- 1}$ par système.
b) Le changement d'origine ne modifie pas $C$ : il suffit de poser $ε = Δ/2$ , soit $ε / k_{B} = 25 K$ . D'où $T_{m a x} = 0, 834 \times 25 ≃ 21 K$ (c'est-à-dire $k_{B} T_{m a x} = 0, 417 Δ$ ) et $C_{m,max} = N_{A} \times 0, 439 k_{B} = 0, 439 R ≃ 3.65 J . K^{- 1} . m o l^{- 1}$ . On mesurerait une bosse d'environ $3.7 J . K^{- 1} . m o l^{- 1}$ vers $21 K$ : signature d'un écart de $50 K$ entre les niveaux. La hauteur ne dépend pas de l'écart ; seule la position en dépend.